Что такое тензор?

[Андрей]

Доброго дня.

Однажды в Вашем диалоге на Спинклуб услышал это слово в контексте какого-то спора про логику или истинность утверждений.

Я - программист и плохо читаю физические формулы. (Хотя высшую математику для экономистов в институте проходил). Прошу уточнить, прав ли я в таком понимании: Тензор - это как массив в программировании. Одномерный тензор - строка. Двумерный - таблица. Трёхмерный массив - "кубик Рубика". Исчерпывающе ли и правильно ли такое понимание?

[Странник34]

Тензором в физике называют такие физические величины, выражение, равенство, составленное из них сохраняется при преобразовании базиса пространства. Под преобразованием понимают линейный сдвиг (центр системы координат смещается на произвольное расстояние в произвольном направлении) и поворот(оси координат поворачиваются). Тензорами являются скаляры (в программировании одномерная переменная) - тензор нулевого ранга, векторы (в программировании одномерный массив) - тензор первого ранга, и физические величины описываемые матрицами, например тензор инерции, тензор э/м поля и др. - тензор 2-го ранга, в физике чаще всего ограничиваются тензорами представляющими квадратную матрицу, (3Х3 и 4Х4 в теории относительности) - в программировании двумерный массив.

Вся фишка тензоров в том, что все уравнения физики должны быть записаны в тензором виде, так как они не зависят от выбора осей координат.
Требование того, что все уравнения физики должны быть инвариантными относительно перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой, привело к необходимости описания преобразований этого перехода, как поворот 4-х мерного пространства. А это в свою очередь потребовало, того, что уравнения физики мы должны записывать в таком виде, что все величины, входящие в них должны быть 4-х мерными тензорами, то есть или 4-х векторами или описываться в виде матрицы 4Х4.

Ну примерно как то так.

[Странник34]

А это в свою очередь потребовало, того, что уравнения физики мы должны записывать в таком виде, что все величины, входящие в них должны быть 4-х мерными тензорами, то есть или 4-х векторами или описываться в виде матрицы 4Х4.

Всю теорию относительности можно вывести из этого утверждения. Что я и делаю, когда читаю лекцию про теорию относительности.

[Андрей]

А каково отличие понятия "тензор" от понятия "матрица"

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы[1], в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

с которыми мы оперировали в институте?

[Странник34]

Математически тензор второго ранга есть матрица. Соответствующим выбором осей координат можно привести его и к треугольному и к диагональному виду.

[Андрей]

Благодарю, уже понятней.

А какое единственное слово можно использовать для обозначения трёхмерного массива, не в курсе? Никак не подберу. 1 - строка, 2 - таблица, а трёхмерный - ? Если сложно называть - то тензор 3 ранга, это я понял.

[Странник34]

Да можно. В абстрактной математике вводят понятия тензоров ранга больше двух. В физике я таких не встречал.

[Андрей]

Про тензоры простым языком
https://zen.yandex.ru/media/math_notebo ... 69c93c8527

[Андрей]

Объекты, равенство которых в одной системе координат верно и относительно всех остальных систем координат, то есть остающиеся инвариантными относительно преобразования координат и называют тензорами.

[Андрей]

Тензору нулевого ранга в программировании соответствует обычная переменная. Известно, что вектор - это одномерный массив или по-английски array, значит, его можно считать тензором первого ранга. Также известно, что матрица - это двумерный массив или тензор второго ранга. Пример обращения к элементу одномерного массива в цикле - a[ i ], двумерного - a[ i,j ], трехмерного - a[ i,j,k ], причем для многомерных массивов в программировании используются вложенные циклы. Правильно я понимаю, что тензор - это массив, включая многомерные массивы, где ранг тензора соответствует размерности массива?

Да, это так. Но от тензора требуется ещё кое-что: преобразование по определенным правилам при смене координат. Так что не каждый массив это тензор. Поэтому ещё тензоры делятся на ковариантные и контравариантные, чем больше ранг, тем больше вариантов.