Что такое тензор?

Персональный раздел Странник34. Вопросы и ответы. Поиск Истины.

Модератор: Странник34

Аватара пользователя
Андрей
Архитектор
Сообщения: 5906
Зарегистрирован: 06 май 2015, 14:10
Откуда: Чехов
Благодарил (а): 488 раз
Поблагодарили: 402 раза

Что такое тензор?

Сообщение Андрей » 02 мар 2018, 08:57

Доброго дня.

Однажды в Вашем диалоге на Спинклуб услышал это слово в контексте какого-то спора про логику или истинность утверждений.

Я - программист и плохо читаю физические формулы. (Хотя высшую математику для экономистов в институте проходил). Прошу уточнить, прав ли я в таком понимании: Тензор - это как массив в программировании. Одномерный тензор - строка. Двумерный - таблица. Трёхмерный массив - "кубик Рубика". Исчерпывающе ли и правильно ли такое понимание?

Аватара пользователя
Странник34
Посвященный
Посвященный
Сообщения: 401
Зарегистрирован: 01 мар 2018, 21:37
Откуда: от туда
Благодарил (а): 5 раз
Поблагодарили: 45 раз

Re: Что такое тензор?

Сообщение Странник34 » 02 мар 2018, 09:31

Тензором в физике называют такие физические величины, выражение, равенство, составленное из них сохраняется при преобразовании базиса пространства. Под преобразованием понимают линейный сдвиг (центр системы координат смещается на произвольное расстояние в произвольном направлении) и поворот(оси координат поворачиваются). Тензорами являются скаляры (в программировании одномерная переменная) - тензор нулевого ранга, векторы (в программировании одномерный массив) - тензор первого ранга, и физические величины описываемые матрицами, например тензор инерции, тензор э/м поля и др. - тензор 2-го ранга, в физике чаще всего ограничиваются тензорами представляющими квадратную матрицу, (3Х3 и 4Х4 в теории относительности) - в программировании двумерный массив.

Вся фишка тензоров в том, что все уравнения физики должны быть записаны в тензором виде, так как они не зависят от выбора осей координат.
Требование того, что все уравнения физики должны быть инвариантными относительно перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой, привело к необходимости описания преобразований этого перехода, как поворот 4-х мерного пространства. А это в свою очередь потребовало, того, что уравнения физики мы должны записывать в таком виде, что все величины, входящие в них должны быть 4-х мерными тензорами, то есть или 4-х векторами или описываться в виде матрицы 4Х4.

Ну примерно как то так.
Мы возьмем самое чистое небо...

Аватара пользователя
Странник34
Посвященный
Посвященный
Сообщения: 401
Зарегистрирован: 01 мар 2018, 21:37
Откуда: от туда
Благодарил (а): 5 раз
Поблагодарили: 45 раз

Re: Что такое тензор?

Сообщение Странник34 » 02 мар 2018, 09:33

Странник34 писал(а): А это в свою очередь потребовало, того, что уравнения физики мы должны записывать в таком виде, что все величины, входящие в них должны быть 4-х мерными тензорами, то есть или 4-х векторами или описываться в виде матрицы 4Х4.
Всю теорию относительности можно вывести из этого утверждения. Что я и делаю, когда читаю лекцию про теорию относительности.
Мы возьмем самое чистое небо...

Аватара пользователя
Андрей
Архитектор
Сообщения: 5906
Зарегистрирован: 06 май 2015, 14:10
Откуда: Чехов
Благодарил (а): 488 раз
Поблагодарили: 402 раза

Re: Что такое тензор?

Сообщение Андрей » 02 мар 2018, 11:32

А каково отличие понятия "тензор" от понятия "матрица"
Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы[1], в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.
с которыми мы оперировали в институте?

Аватара пользователя
Странник34
Посвященный
Посвященный
Сообщения: 401
Зарегистрирован: 01 мар 2018, 21:37
Откуда: от туда
Благодарил (а): 5 раз
Поблагодарили: 45 раз

Re: Что такое тензор?

Сообщение Странник34 » 02 мар 2018, 12:00

Математически тензор второго ранга есть матрица. Соответствующим выбором осей координат можно привести его и к треугольному и к диагональному виду.
Мы возьмем самое чистое небо...

Аватара пользователя
Андрей
Архитектор
Сообщения: 5906
Зарегистрирован: 06 май 2015, 14:10
Откуда: Чехов
Благодарил (а): 488 раз
Поблагодарили: 402 раза

Re: Что такое тензор?

Сообщение Андрей » 02 мар 2018, 12:28

Благодарю, уже понятней.

А какое единственное слово можно использовать для обозначения трёхмерного массива, не в курсе? Никак не подберу. 1 - строка, 2 - таблица, а трёхмерный - ? Если сложно называть - то тензор 3 ранга, это я понял.

Аватара пользователя
Странник34
Посвященный
Посвященный
Сообщения: 401
Зарегистрирован: 01 мар 2018, 21:37
Откуда: от туда
Благодарил (а): 5 раз
Поблагодарили: 45 раз

Re: Что такое тензор?

Сообщение Странник34 » 02 мар 2018, 12:37

Да можно. В абстрактной математике вводят понятия тензоров ранга больше двух. В физике я таких не встречал.
Мы возьмем самое чистое небо...

Аватара пользователя
Андрей
Архитектор
Сообщения: 5906
Зарегистрирован: 06 май 2015, 14:10
Откуда: Чехов
Благодарил (а): 488 раз
Поблагодарили: 402 раза

Re: Что такое тензор?

Сообщение Андрей » 14 авг 2020, 11:44

Про тензоры простым языком
https://zen.yandex.ru/media/math_notebo ... 69c93c8527

Аватара пользователя
Андрей
Архитектор
Сообщения: 5906
Зарегистрирован: 06 май 2015, 14:10
Откуда: Чехов
Благодарил (а): 488 раз
Поблагодарили: 402 раза

Re: Что такое тензор?

Сообщение Андрей » 14 авг 2020, 12:01

Объекты, равенство которых в одной системе координат верно и относительно всех остальных систем координат, то есть остающиеся инвариантными относительно преобразования координат и называют тензорами.

Аватара пользователя
Андрей
Архитектор
Сообщения: 5906
Зарегистрирован: 06 май 2015, 14:10
Откуда: Чехов
Благодарил (а): 488 раз
Поблагодарили: 402 раза

Re: Что такое тензор?

Сообщение Андрей » 14 авг 2020, 12:12

Тензору нулевого ранга в программировании соответствует обычная переменная. Известно, что вектор - это одномерный массив или по-английски array, значит, его можно считать тензором первого ранга. Также известно, что матрица - это двумерный массив или тензор второго ранга. Пример обращения к элементу одномерного массива в цикле - a[ i ], двумерного - a[ i,j ], трехмерного - a[ i,j,k ], причем для многомерных массивов в программировании используются вложенные циклы. Правильно я понимаю, что тензор - это массив, включая многомерные массивы, где ранг тензора соответствует размерности массива?
Да, это так. Но от тензора требуется ещё кое-что: преобразование по определенным правилам при смене координат. Так что не каждый массив это тензор. Поэтому ещё тензоры делятся на ковариантные и контравариантные, чем больше ранг, тем больше вариантов.